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Full Description
nen (die fast unverändert in moderne Lehrbücher der Analysis übernommen wurde) ermöglichten ihm nach seinen eigenen Worten, "in einer halben Vier telstunde" die Flächen beliebiger Figuren zu vergleichen. Newton zeigte, daß die Koeffizienten seiner Reihen proportional zu den sukzessiven Ableitungen der Funktion sind, doch ging er darauf nicht weiter ein, da er zu Recht meinte, daß die Rechnungen in der Analysis bequemer auszuführen sind, wenn man nicht mit höheren Ableitungen arbeitet, sondern die ersten Glieder der Reihenentwicklung ausrechnet. Für Newton diente der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Reihe und den Ableitungen eher dazu, die Ableitungen zu berechnen als die Reihe aufzustellen. Eine von Newtons wichtigsten Leistungen war seine Theorie des Sonnensy stems, die in den "Mathematischen Prinzipien der Naturlehre" ("Principia") ohne Verwendung der mathematischen Analysis dargestellt ist. Allgemein wird angenommen, daß Newton das allgemeine Gravitationsgesetz mit Hilfe seiner Analysis entdeckt habe. Tatsächlich hat Newton (1680) lediglich be wiesen, daß die Bahnkurven in einem Anziehungsfeld Ellipsen sind, wenn die Anziehungskraft invers proportional zum Abstandsquadrat ist: Auf das Ge setz selbst wurde Newton von Hooke (1635-1703) hingewiesen (vgl. § 8) und es scheint, daß es noch von weiteren Forschern vermutet wurde.
Contents
1. Grundbegriffe.- § 1. Phasenräume.- § 2. Vektorfelder auf der Geraden.- § 3. Lineare Gleichungen.- § 4. Phasenflüsse.- § 5. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern und Richtungsfeldern.- § 6. Symmetrien.- 2. Grundlegende Sätze.- § 7. Rektifizierungssätze.- § 8. Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung.- § 9. Phasenkurven eines autonomen Systems.- § 10. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes und erste Integrale.- § 11. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 12. Das konservative System mit einem Freiheitsgrad.- 3. Lineare Systeme.- § 13. Lineare Probleme.- § 14. Die Exponentialfunktion.- § 15. Eigenschaften der Exponentialfunktion.- § 16. Die Determinante des Operators eA.- § 17. Praktische Berechnung der Matrixexponentialfunktion: Der Fall reeller paarweise verschiedener Eigenwerte.- § 18. Komplexifizierung und Reellifizierung.- § 19. Die lineare Gleichung mit komplexen Koeffizienten.- § 20. Die Komplexifizierung einer reellen Gleichung.- § 21. Klassifikation der singulären Punkte eines linearen Systems.- § 22. Die topologische Klassifizierung singulärer Punkte.- § 23. Stabilität von Gleichgewichtslagen.- § 24. Der Fall rein imaginärer Eigenwerte.- § 25. Der Fall mehrfacher Eigenwerte.- § 26. Quasipolynome.- § 27. Lineare nichtautonome Gleichungen.- § 28. Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- § 29. Variation der Konstanten.- 4. Beweise der grundlegenden Sätze.- § 30. Kontrahierende Abbildungen.- § 31. Beweis des Existenzsatzes und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- § 32. Der Differenzierbarkeitsatz.- 5. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.- § 33. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- § 34.Tangentialbündel. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten.- § 35. Der durch ein Vektorfeld definierte Phasenfluß.- § 36. Der Index singulärer Punkte eines Vektorfeldes.- Prüfungsprogramm.- Beispiele für Prüfungsaufgaben.
