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Contents
I Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.- §0 Die komplexen Zahlen.- Aufgaben zu §0.- §1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit.- Aufgaben zu §1.- §2 Holomorphie.- Aufgaben zu §2.- §3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen.- Aufgaben zu §3.- §4 Biholomorphe Abbildungen.- Aufgaben zu §4.- §5 Harmonische Funktionen.- Aufgaben zu §5.- II Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen.- §1 Konvergenzbegriffe und -kriterien.- Aufgaben zu §1.- §2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz.- Aufgaben zu §2.- §3 Potenzreihen.- Aufgaben zu §3.- §4 Laurentreihen.- Aufgaben zu §4.- III Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- §1 Polynome und rationale Funktionen.- Aufgaben zu §1.- §2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen.- Aufgaben zu §2.- §3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.- Aufgaben zu §3.- §4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- Aufgaben zu §4.- IV Konforme Abbildungen.- §1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Aufgaben zu §1.- §2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen).- Aufgaben zu §2.- §3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen.- Aufgaben zu §3.- V Integration komplexer Funktionen. Integralsätze.- §1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie.- Aufgaben zu §1.- §2 Holomorphie und Integrabilität.- Aufgaben zu §2.- §3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- Aufgaben zu §3.- §4 Parameterintegrale.- Aufgaben zu §4.- VI Reihen- und Produktentwicklungen holomorpher und meromorpher Funktionen.- §1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor.- Aufgaben zu §1.- §2 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisringen nach Laurent.- Aufgaben zu §2.- §3 Nullstellen und isolierteSingularitäten.- Aufgaben zu §3.- §4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt ?.- Aufgaben zu §4.- §5 Meromorphe Funktionen.- Aufgaben zu §5.- §6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz.- Aufgaben zu §6.- VII Das Residuenkalk?l.- §1 Der Residuensatz.- Aufgaben zu §1.- §2 Berechnung spezieller Integrale.- Aufgaben zu §2.- §3 Der Residuensatz für den Punkt ?.- Aufgaben zu §3.- Zusammenfassungen und Übersichten.- A: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Biholomorphiecharakteristika.- B: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.- C: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe.- D: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung.- E: Übersicht über die wichtigsten holomorphen Funktionen.- Anhang A Topologische und ordnungstheoretische Grundbegriffe.- 1. Topologische Grundbegriffe.- 2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe.- Anhang B Wege und Gebiete in der Funktionentheorie.- 1. Wege in der Zahlenebene ?.- 2. Gebiete in der Zahlenebene ?.- 3. Zusammenfassung.- Anhang C Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen.- Symbolverzeichnis.- Verzeichnis der Examensaufgaben.- aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung.
